Семинары

Рассылка: https://groups.google.com/forum/#!forum/spb-algo



Вторник 11.12. Кирилл Симонов (Университет Бергена): "Параметризованная сложность задачи k-means"

Докладчик: 
Кирилл Симонов (Университет Бергена)
Дата: 
Tuesday, December 11, 2018 - 02:00
Место: 
ауд. 106
Аннотация: 

k-means кластеризация -- это следующая задача: по данным n точкам в $R^d$ найти k центров кластеров так, чтобы минимизировать сумму расстояний от точек до ближайших к ним центрам кластеров. Задача получила широкую известность благодаря применениям в data mining, и в особенности эвристическому алгоритму Ллойда. Известно, что найти
оптимальную кластеризацию NP-трудно даже при d=2 или k=2, в то же время существует алгоритм со временем работы $n^{O(dk)}$. Мы впервые рассматриваем задачу k-means с точки зрения параметризованной сложности, где целью является либо нахождение алгоритма со временем
работы $f(t)n^{O(1)}$ для некоторого параметра задачи t, либо доказательство невозможности его существования при условии FPT≠W[1]. Рассматриваемые нами параметры для k-means -- это k, d и искомое расстояние D (при условии, что входные данные целочисленные).

Используя алгоритм для быстрого нахождения подгиперграфа с малым fractional cover number, мы получаем FPT-алгоритм по D для $L_1$-расстояния. Интересно, что в случае расстояния в $L_2$ задача ощутимо труднее — мы показываем, что одна из подзадач, возникающая в нашем алгоритме, является здесь W[1]-трудной. Мы также обобщаем эти результаты на $L_p$ для остальных значений p, и даем нижние оценки для некоторых комбинаций параметров в экстремальных случаях $L_0$ and $L_\infty$. Отдельный интерес может представлять набор используемых нами сведений, позволяющих представить стандартные комбинаторные задачи на графах как геометрические задачи кластеризации.



Понедельник 10.12. А.Х. Шень (LIRMM, ИППИ РАН): "Три подхода к определению понятия количества информации: увеличение сложности при случайном шуме"

Докладчик: 
А.Х. Шень (LIRMM, ИППИ РАН)
Дата: 
Monday, December 10, 2018 - 14:30
Место: 
106
Аннотация: 

Первая статья Колмогорова 1965 года указывала "три подхода к определению количества информации" - комбинаторный (логарифм мощности), вероятностный (шенноновская энтропия) и алгоритмический (длина кратчайшего описания). Эта возможность перевода с одного языка на другой многократно оказывалась полезной: скажем, теорема Харпера о множестве с минимальной окрестностью в булевом кубе была переформулирована (Бюрман, Верещагин, Фортноу и др.) как возможность увеличить колмогоровскую сложность изменением некоторой доли битов. Мы делаем то же самое в вероятностной ситуации и выясняем, какова может быть типичная сложность данного слова $x$, если в нём каждый бит изменить с вероятностью $p$, получая неулучшаемую оценку для этой типичной сложности.

(по работе с Глебом Пособиным)



Пятница 30.11. Татьяна Белова: "Верхние и нижние оценки для различных параметризаций задачи (n, 3)-MAXSAT"

Докладчик: 
Татьяна Белова
Дата: 
Friday, November 30, 2018 - 14:00
Место: 
ауд. 106
Аннотация: 

Задача (n,3)-MAX-SAT является частным случаем задачи MAX-SAT с дополнительным ограничением на входную формулу, что каждая переменная встречается в формуле не более трех раз. Мы рассмотрим различные параметризации этой задачи, улучшим известные ранее верхние оценки на время решения (n,3)-MAXSAT относительно числа переменных в формуле, а также относительно числа клозов, которые мы хотим выполнить.
Кроме того, мы покажем, что выполнить хотя бы на один клоз больше, чем при тривиальном означивании, где всем переменным присваивается истина, уже является NP-трудной задачей.



Пятница 23.11. Анастасия Софронова: "Верхние оценки на размер dag-like коммуникационных протоколов"

Докладчик: 
Анастасия Софронова
Дата: 
Friday, November 23, 2018 - 14:00
Место: 
ауд. 106
Аннотация: 

Dag-like коммуникационные протоколы — обобщение классических коммуникационных протоколов. С их помощью можно перенести нижние оценки на ширину резолюционного доказательства невыполнимой формулы на другие системы доказательств, а также на размер монотонных схем для некоторых связанных задач. Для этого используется техника lifting — вместо каждой переменной формулы подставляется некоторая функция от новых переменных, так называемый гаджет. Однако известные гаджеты, подходящие для этой техники, имеют большой размер. Вопрос, можно ли использовать гаджет константного размера, является открытым. Мы рассмотрим некоторые конкретные гаджеты константного размера и приведём пример семейства формул, показывающий, что их нельзя использовать для переноса нижних оценок. А именно, рассмотрим семейство формул с минимальной шириной резолюционного доказательств $\Omega(\sqrt{n})$ и полиномиальным размером dag-like протокола для задачи поиска невыполненного дизъюнкта после подстановки гаджета.



Понедельник 19.11. Федор Парт: "Нижние оценки для резолюций с линейными уравнениями над кольцами"

Докладчик: 
Федор Парт
Дата: 
Monday, November 19, 2018 - 14:00
Место: 
ауд. 106
Аннотация: 

Система доказательств Res($lin_R$) определяется как расширение резолюционной системы доказательств Res, в ней выводимыми утверждениями являются дизъюнкции линейных уравнений над кольцом R. Одна из мотиваций для изучения таких систем заключается в том, что если R - это конечное поле $F_p$ или поле рациональных чисел, то Res(lin_R) является простейшим примером систем $AC_0[p]$-Frege или $TC_0$-Frege соответственно, доказательство суперполиномиальных нижних оценок на длины доказательств в которых - давно открытая проблема. Оказывается, даже для Res($lin_R$) проблема доказательства нижних оценок в общем случае крайне нетривиальна и на данный момент является открытой.

В докладе мы докажем ряд dag-like и tree-like верхних и нижних оценок на размер доказательств в Res($lin_F$) для разных полей F. В случае char(F)=0 мы докажем экпоненциальную нижнюю оценку, но не для КНФ, а для клоза вида $a_1x_1+...+a_nx_n=A$ для больших, то есть растущих суперполиномиально от n, коэффициентов. Эта оценка получается как следствие из полиномиальных нижних и верхних оценок на размер кратчайшего Res($lin_F$) доказательства как функции от размера образа линейной формы $a_1x_1+...+a_nx_n$. Также в случае char(F)=0 мы докажем экспоненциальную tree-like нижнюю оценку на $a_1x_1+...+a_nx_n=A$, если коэффициенты малы, то есть ограничены полиномом от n. Это влечет экспоненциальное разделение dag-like и tree-like Res(lin_F) в случае малых коэффициентов

Для конечных полей мы докажем экспоненциальные разделения между tree-like Res(lin_Fp) и tree-like Res(lin_Fq) для различных p и q, где в качестве разделяющих КНФ использованы mod-p Цейтинские формулы. Этот результат, а также экспоненциальная нижняя оценка для tree-like Res(lin_Fp) на случайных КНФ, получается как следствие варианта классического соотношения ширины и размера резолюционных доказательств вкупе с нижней оценкой на ширину через симуляцию в Polynomial Calculus. Мы обобщим доказательство Ицыксона и Соколова tree-like Res($lin_{F_2}$) нижней оценки на PHP для произольных полей F с помощью теоремы Алона-Фюреди о покрытиях гиперкуба гиперплоскостями.

Доклад основан на совместной статье с И. Цамеретом.


Pages