Задача (n,3)-MAX-SAT является частным случаем задачи MAX-SAT с дополнительным ограничением на входную формулу, что каждая переменная встречается в формуле не более трех раз. Мы рассмотрим различные параметризации этой задачи, улучшим известные ранее верхние оценки на время решения (n,3)-MAXSAT относительно числа переменных в формуле, а также относительно числа клозов, которые мы хотим выполнить.
Кроме того, мы покажем, что выполнить хотя бы на один клоз больше, чем при тривиальном означивании, где всем переменным присваивается истина, уже является NP-трудной задачей.

Dag-like коммуникационные протоколы — обобщение классических коммуникационных протоколов. С их помощью можно перенести нижние оценки на ширину резолюционного доказательства невыполнимой формулы на другие системы доказательств, а также на размер монотонных схем для некоторых связанных задач. Для этого используется техника lifting — вместо каждой переменной формулы подставляется некоторая функция от новых переменных, так называемый гаджет. Однако известные гаджеты, подходящие для этой техники, имеют большой размер. Вопрос, можно ли использовать гаджет константного размера, является открытым. Мы рассмотрим некоторые конкретные гаджеты константного размера и приведём пример семейства формул, показывающий, что их нельзя использовать для переноса нижних оценок. А именно, рассмотрим семейство формул с минимальной шириной резолюционного доказательств $\Omega(\sqrt{n})$ и полиномиальным размером dag-like протокола для задачи поиска невыполненного дизъюнкта после подстановки гаджета.

Система доказательств Res($lin_R$) определяется как расширение резолюционной системы доказательств Res, в ней выводимыми утверждениями являются дизъюнкции линейных уравнений над кольцом R. Одна из мотиваций для изучения таких систем заключается в том, что если R - это конечное поле $F_p$ или поле рациональных чисел, то Res(lin_R) является простейшим примером систем $AC_0[p]$-Frege или $TC_0$-Frege соответственно, доказательство суперполиномиальных нижних оценок на длины доказательств в которых - давно открытая проблема. Оказывается, даже для Res($lin_R$) проблема доказательства нижних оценок в общем случае крайне нетривиальна и на данный момент является открытой.

В докладе мы докажем ряд dag-like и tree-like верхних и нижних оценок на размер доказательств в Res($lin_F$) для разных полей F. В случае char(F)=0 мы докажем экпоненциальную нижнюю оценку, но не для КНФ, а для клоза вида $a_1x_1+...+a_nx_n=A$ для больших, то есть растущих суперполиномиально от n, коэффициентов. Эта оценка получается как следствие из полиномиальных нижних и верхних оценок на размер кратчайшего Res($lin_F$) доказательства как функции от размера образа линейной формы $a_1x_1+...+a_nx_n$. Также в случае char(F)=0 мы докажем экспоненциальную tree-like нижнюю оценку на $a_1x_1+...+a_nx_n=A$, если коэффициенты малы, то есть ограничены полиномом от n. Это влечет экспоненциальное разделение dag-like и tree-like Res(lin_F) в случае малых коэффициентов

Для конечных полей мы докажем экспоненциальные разделения между tree-like Res(lin_Fp) и tree-like Res(lin_Fq) для различных p и q, где в качестве разделяющих КНФ использованы mod-p Цейтинские формулы. Этот результат, а также экспоненциальная нижняя оценка для tree-like Res(lin_Fp) на случайных КНФ, получается как следствие варианта классического соотношения ширины и размера резолюционных доказательств вкупе с нижней оценкой на ширину через симуляцию в Polynomial Calculus. Мы обобщим доказательство Ицыксона и Соколова tree-like Res($lin_{F_2}$) нижней оценки на PHP для произольных полей F с помощью теоремы Алона-Фюреди о покрытиях гиперкуба гиперплоскостями.

Доклад основан на совместной статье с И. Цамеретом.