Граф называется k-планарным, если его вершины можно изобразить
на плоскости так, чтобы каждое ребро пересекало не более чем k других.
В докладе будет рассказано об истории вопроса: о классических резуль-
татах Рингеля и Бородина по оценке хроматического числа 1-планарных
графов и связанных с ними вопросах о k-раскрасках планарных графов
(таких раскрасках, в которых все вершины каждой грани размера не бо-
лее k покрашены в разный цвет).
Будет рассказано о вышедшей в 2023 году работе Д.Карпова, в ко-
торой доказано, что вершины 2-планарного графа можно покрасить в 9
цветов, в том числе о том, почему эта задача гораздо труднее аналогич-
ной задачи для 1-планарных графов. А именно, о некоторых вопросах о
каноническом изображении k-планарных графов на плоскости – очевид-
ных для k = 1, содержательных для k = 2 и непонятно, верных ли для
k ≥ 3.
Закончится доклад разговором о том, что можно сделать дальше.

Ключевые слова: 2-планарный граф, плоское изображение графа.

Одним из мощных инструментов для исследования простых чисел является дзета-функция Римана. Ещё в 19-м веке он сформулировал гипотезу о нулях этой функции, которая в затем вошла в проблемы Гильберта, а сейчас является одной из нерешённых проблем тысячелетия.

Обычно функцию легче изучать, если она удовлетворяет какому-либо дифференциальному уравнению. Гильберт в своём знаменитом докладе сказал, что дзета-функция не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению. В последствии этот негативный результат был обобщён на многие другие классы дифференциальных уравнений.

Выступление будет состоять из двух частей. В первой будет сделан обзор некоторых исследований, связанных с дзета функций. Во второй я расскажу о результатах моих поисков приближённых дифференциальных уравнений для дзета-функции.

Публикации

[1] https://www.pdmi.ras.ru/preprint/2024/24-01.html

[2] http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.30721.67686

Ряды Дирихле представляют собой широкий класс функций, изучаемый в теории
чисел и анализе, а также имеющий большое количество применений, как в
самой теории чисел, так и в приложениях (в физике, теории систем и
сигналов, криптографии, и т.д.). В докладе будут рассмотрены некоторые
частные случаи конечных рядов Дирихле с коэффициентами, содержащими
секансы и косекансы. Будет подробно изучено их асимпототическое поведение
и показано что оно не только количественно, но и качественно может быть
разным в зависимости от начальных условий (параметров), а также от длины
ряда. Дополнительно, будет рассмотрен схожий тригонометрический ряд,
играющий важную роль для изучения суммы Полиа-Виноградова, и будут
подробно изучены его свойства.